Asteroid3Dがどのようにして小惑星の3D軌道をリアルタイム描画しているのか、その根幹をなす「ケプラーの6軌道要素」と位置ベクトルの計算法を解説します。
1. ケプラーの6軌道要素（Orbital Elements）
太陽を焦点とする楕円軌道は、以下の6つの幾何学パラメータで一意に決定されます：
1. **軌道長半径 $a$ (Semi-major Axis)**: 軌道の大きさを表す（天文単位 AU）。
2. **離心率 $e$ (Eccentricity)**: 軌道の歪み具合（$0$: 円軌道、$0 < e < 1$: 楕円軌道、$e \ge 1$: 放物線・双曲線）。
3. **軌道傾斜角 $i$ (Inclination)**: 黄道面（地球軌道面）に対する傾き（度）。
4. **昇交点黄経 $\Omega$ (Longitude of Ascending Node)**: 軌道が黄道面を南から北へ横切る角度。
5. **近日点引数 $\omega$ (Argument of Perihelion)**: 昇交点から太陽に最も近づく近日点までの角度。
6. **平均近点角 $M$ (Mean Anomaly)**: 近日点通過からの時間経過を表す仮想角。
2. ケプラー方程式の数値解法（ニュートン・ラフソン法）
離心近点角 $E$ は、以下の非線形超越方程式（ケプラー方程式）を満たします：
$$M = E - e \sin E$$
これをニュートン・ラフソン法により反復計算して $E$ を高精度に求めます：
$$E_{n+1} = E_n - \frac{E_n - e \sin E_n - M}{1 - e \cos E_n}$$
3. 3次元直交座標系への回転変換
軌道面上の2次元座標 $(x_{orb}, y_{orb})$ から、オイラー角回転行列 $R_z(\Omega) R_x(i) R_z(\omega)$ を適用することで、3D太陽系空間の座標 $(X, Y, Z)$ を導出します。